Question

设函数为奇函数，g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}（ a＞1，且m≠1）．
（1）求m值；
（2）求g（x）的定义域；
（3）若g（x）在上恒正，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）
∴
∴（m²-1）x²=0，又m≠1
∴m=-1；
（2）
x必须满足
∴
∴g（x）的定义域为{x：x＜-1或x＞1}
（3）∵，
即（x+1）（ax+1）＞1
∴∴
∵∴
∴a的取值范围是（2，+∞）．
分析：（1）根据函数f（x）为奇函数可知f（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可求得m．
（2）由（1）可得f（x）的解析式，进而根据g（x）=f（x）+log_a^{（x-1）（ax+1）}可得g（x）的解析式，根据对数的真数需大于0，进而可得x的范围．
（3）根据g（x）在上恒成立，对于g（x）的解析式只需（x+1）（ax+1）＞1，进而根据x的范围求得a的范围．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用．函数的奇偶性，单调性，定义域和值域都是考试常考的内容．