Question

14．函数y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1在x∈[-3，2]上的值域是[$\frac{3}{4}$，57]．

Answer 1

分析 由题意可得t=（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，8]，换元可得y=t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函数可得．

解答 解：∵x∈[-3，2]，∴t=（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，8]，
换元可得y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可知y在t∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]单调递减，在t∈[$\frac{1}{2}$，8]单调递增，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{3}{4}$，当t=8时，函数取最大值57
故答案为：[$\frac{3}{4}$，57]

点评 本题考查二次函数在闭区间的最值，涉及换元法和指数函数的性质，属基础题．