Question

试根据复合函数的求导法则，研究函数f（x）=x^x（x＞0）的性质，并回答：下列命题中假命题的个数是（　　）
①f（x）的极大值为1；
②f（x）的极小值为1；
③f（x）的一个单调递增区间是(

1

10

，10)．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根据条件，对f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，利用复合函数求导法则求出f′（x），令其等于0即可得到函数的单调区间与极值．

解答：解：∵f（x）=x^x=elnxx=e^xlnx，
∴f′（x）=（x^x）′=e^xlnx（lnx+1）=x^x（lnx+1）=0
得x=

1

e

当x=

1

e

时，f（x）取极小值为e-

1

e

，
f（x）的单调递增区间是（

1

e

，+∞)．
故命题①②③全错，
故选D．

点评：本题考查对数的恒等变形，以及复合函数求导法则，利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查了运算能力和分析解决问题的能力，以及计算能力，属中档题．