Question

一缉私艇（在A处）发现，在其北偏东45°方向相距24海里的海面上（C处）有一艘走私船遇正以12海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若缉私船的速度为12

3

海里/小时．若要在最短的时间内追上该走私船，缉私船应沿北偏东45°+α的方向去追，求追及所需的时间和α角的大小．

Answer 1

分析：缉私艇与走私船原来的位置分别为A、C，在B处两船相遇，由条件得到∠ACB=120°，AC=24海里，设缉私船t小时后追上该走私船，根据各自的速度表示出BC与AB，由∠ACB=120°，∠CAB=α，利用正弦定理列出关系式，求出sinα的值；由余弦定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：由条件知∠ACB=120°，AC=24海里，
设缉私船t小时后追上该走私船，可得BC=12t，AB=12

3

t，
∴由正弦定理

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠ACB

得：

12t

sinα

=

12 3 t

sin120°

，
∴sinα=

1

2

，α=30°
由余弦定理AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB得：（12

3

t）²=24²+（12t）²-2×24×12tcos120°，
解得：t=2，
∴t=2小时，α=30°．
追及所需的时间为2小时，α角的大小为30°．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．