Question

11．已知函数f（x）=（log₂x-2）（log₄x-$\frac{1}{2}$）．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法令t=log₂x，t∈[0，2]，得f（t）=（t-2）（$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$），利用二次函数性质可得f（0）≥f（t）≥f（$\frac{3}{2}$），
进而求出值域；
（2）由（1）可整理不等式为t+$\frac{2}{t}$-3≤2m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用构造函数g（t）=t+$\frac{2}{t}$，知在（$\sqrt{2}$，+∞）上递增，求出最大值．

解答 解：令t=log₂x，t∈[0，2]，
∴f（t）=（t-2）（$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（t-2）（t-1），
∴f（0）≥f（t）≥f（$\frac{3}{2}$），
∴-$\frac{1}{8}$≤f（t）≤1，
故该函数的值域为[-$\frac{1}{8}$，1]；
（2）x∈[4，16]，
∴t∈[2，4]，
∴$\frac{1}{2}$（t-2）（t-1）≤mt，
∴t+$\frac{2}{t}$-3≤2m恒成立，
令g（t）=t+$\frac{2}{t}$，知在（$\sqrt{2}$，+∞）上递增，
∴g（t）≤g（4）=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$-3≤2m，
∴m≥$\frac{3}{4}$．

点评 考查了换元法的应用和恒成立问题的转换，属于基础题型，应熟练掌握．