Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，n∈N^*，则a_n=（　　）

• A．

  2n-1

  n

• B．

  2n

  n+1

• C．

  3n-1

  n+1

• D．

  2

  n(n+1)

Answer 1

分析：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用累加法即可求得a_n．

解答：解：数列{a_n}中，∵a₁=1，a_n+1=a_n+

1

n(n+1)

，
∴a_n+1-a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴a_n-a_n-1=

1

n-1

-

1

n

，
…
a₃-a₂=

1

2

-

1

3

，
a₂-a₁=

1

1

-

1

2

，
以上诸式等号左右两端分别相加得：a_n-a₁=1-

1

n

，
∴a_n=2-

1

n

=

2n-1

n

．
故选A．

点评：本题考查数列求和，突出考查裂项法与累加法，属于中档题．