Question

规定maxf（x），g（x）=

f(x)，f(x)≥g(x) g(x)，f(x)＜g(x)

，若定义在R上的奇函数F（x）满足：当x＞0时，F（x）=max1-log₂x，1+log₂x．
（1）求F（x）的解析式，并写出F（x）的单调区间；
（2）若方程F（x）=m有唯一实数解，求实数m的值；
（3）求t＞0时，函数y=F（x）在x∈[t，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据题中定义的函数和奇函数的定义求出函数的解析式，由解析式和对数函数的图象画出函数的简图，根据图象求出函数的单调区间；
（2）由（1）的函数解析式和图象，方程有一个根时即对应图象由一个交点时，求出m的值；
（3）由函数解析式求出F(

1

2

)=F(2)，根据t的取值分三种情况，根据函数的单调性求出对应的函数的值域．

解答：解：（1）根据题意和奇函数的定义得，F(x)=

-1-log2(-x)?x∈(-∞，-1) -1+log2(-x)?x∈[-1，0) ??0????x=0 1-log2x???x∈(0，1] 1+log2x???x∈(1，+∞)

，
由函数解析式和对数函数的图象作出此函数图象如右图：
由图得，F（x）增区间为（1，+∞），（-∞，-1），
减区间为（0，1），（-1，0），
（2）由函数的解析式和图象得，方程F（x）=m有唯一实数解时，有m=-1，0，1，
（3）由函数解析式求得，F(

1

2

)=F(2)，故分三种情况求值域：
当0＜t＜

1

2

时，则函数在此区间上是减函数，故y=F（x）值域为[1，1-log₂t]，
当

1

2

≤t≤1时，则函数在此区间上是减函数，故y=F（x）值域为[1，2]
当1＜t≤2时，则函数在此区间上是增函数，故y=F（x）值域为[1+log₂t，2]．

点评：本题是有关新定义和函数的综合题，主要根据定义和奇函数的定义求出解析式，再由对数函数的图象作出函数图象，根据图象求解，对于求函数的值域关键求出分界点，再分类并且根据单调性求出值域，考查了数形结合思想和分类讨论思想．