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已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点M(2,1),离心率为
3
2
.如图,平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A,B.
(1)当直线l经过椭圆C的左焦点时,求直线l的方程;
(2)证明:直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.
分析:(1)由e=
c
a
=
3
2
,设椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1
,将M(2,1)代入,得b2=2,由此能求出椭圆C的方程,从而能够求出直线l的方程.
(2)设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),则k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2
,设l:y=
1
2
x
+m,由
y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
,得x2+2mx+2m2-4=0,推导出k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2
=0,由此能证明直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.
解答:(1)解:∵e=
c
a
=
3
2
,∴设椭圆方程为
x2
4b2
+
y2
b2
=1

将M(2,1)代入,得
4
4b2
+
1
b2
=1
,解得b2=2,
所以椭圆C的方程为
x2
8
+
y2
2
=1

因此左焦点为(-
6
,0),斜率k1=kOM=
1
2

所以直线l的方程为y=
1
2
(x+
6
),即y=
1
2
x+
6
2

(2)证明:设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),
k1=
y1-1
x1-2
k2=
y2-1
x2-2

∴k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-2

=
(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

=
(
1
2
x1+m-1)(x2-2)+(
1
2
x2+m-1)(x1-2)
(x1-2)(x2-2)

=
x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) 
(x1-2)(x2-2)
,(*)
设l:y=
1
2
x
+m,由
y=
1
2
x+m
x2
8
+
y2
2
=1
,得x2+2mx+2m2-4=0,
所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4
代入(*)式,得
k1+k2=
2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)
(x1-2)(x2-2)

=
2m2-4-2m2+4m-4m+4
(x1-2)(x2-2)

=0.
所以直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形.
点评:本题考查直线方程的求法,考查直线MA,MB与x轴总围成等腰三角形的证明.具体涉及到椭圆的简单性质、直线方程的性质、韦达定理等基本知识点.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:山东省济宁市2012届高二下学期期末考试理科数学 题型:解答题

(本小题满分14分) 已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原

点,左焦

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;

(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C,求△ABC面积的最大值。

 

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