Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一动点，试判断三棱锥M-EFG的体积是否为定值，若是，求出该三棱锥的体积；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据面面垂直的性质定理，得到CD⊥平面PAD，而△PDC的中位线EF∥CD，得EF⊥平面PAD，结合面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面PAD；
（2）由线面平行的判定定理，得到CD∥平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，从而将三棱锥M-EFG的体积转化为三棱锥D-EFG的体积．根据题意，不难算出△EFG的面积和D到平面EFG的距离，可得出三棱锥M-EFG的体积等于是定值．

解答：解：（1）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD，…（4分）
∴EF⊥平面PAD，
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD； （6分）
（2）∵CD∥EF，CD?平面EFG，EF⊆平面EFG，
∴CD∥平面EFG，故CD上的点M到平面EFG的距离等于D到平面EFG的距离，（8分）
设平面EFGH交平面PAD于EH，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH
∴V_M-EFG=V_D-EFG，且S△EFG=

1

2

×EF×EH=2，
∵正三角形DEH中，HD=2，可得EH边上的高为

3

2

×2=

3

∴D到平面EFG的距离即三角形EHD的高，等于

3

（10分）
∴VM-EFG=

1

3

S△EFG×

3

=

2 3

3

，即三棱锥M-EFG的体积等于

2 3

3

（定值）（12分）

点评：本题给出特殊四棱柱，求证面面垂直并且探索三棱锥体积是否为定值，着重考查了线面平行的判定、面面垂直的判定和性质和点到平面距离等知识，属于中档题．