Question

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为其前n项和，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁=2，S₂=5b₂，S₄=25b₃．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式a_n及b_n；
（II）设数列{c_n}满足c_n=b_nS_n，问当n为何值时，c_n取得最大值？

Answer 1

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则S₂=4+d，S₄=8+6d，b₂=2q，b₃=2q²，再根据题意列方程组求出公差与公比，进而求出两个数列的通项公式．
（II）由（I）可得：S_n=2n²，所以c_n=4n²•(

4

5

)n-1．假设C_n最大，根据题意可得：n≥2，所以

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn+1

，即可求出n的范围求出n的具体数值．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
则S₂=2a₁+d=4+d，S₄=4a₁+6d=8+6d，b₂=b₁q=2q，b₃=2q²，
根据题意可得：S₂=5b₂，S₄=25b₃，即

4+d=10q 8+6d=50q2

，
解得：

q= 4 5 d=4

或者

q= 2 5 d=0

（舍去），
因为a₁=b₁=2，数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}为等比数列，
所以a_n=4n-2，b_n=2•(

4

5

)n-1．
（II）因为S_n是等差数列{a_n}的前n项和，
所以S_n=2n²，所以c_n=b_nS_n=4n²•(

4

5

)n-1．
假设C_n最大，因为C₁=4，C₂=

64

5

，所以C₁＜C₂，所以n≥2．
由C_n最大，可得：

Cn≥Cn+1 Cn≥Cn-1

，即

4n2( 4 5 )n-1≥4(n+1)2( 4 5 )n 4n2( 4 5 )n-1≥4(n-1)2( 4 5 )n-2

，
化简可得：

n2-8n-4≥0 n2-10n+5≤0

，
解得：4+

20

≤n≤5+

20

，
因为4＜

20

＜5，
所以8＜n＜10，所以n=9，
即当n=9时，C₉最大．

点评：解决此类问题的关键是数列掌握等差数列等比数列的通项公式与前n项和公式，以及数列掌握利用不等式的性质求数列的最大项，本题考查学生的运算能力与分析问题解决问题的基本能力．