Question

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，知2a=4，2c=2

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等．当P在y轴上时，R在x轴上，PR方程为

x

a

+

y

b

=1，

1

a2

+

1

b2

=1．当P在x轴上时，R在y轴上，PR方程为

x

a

+

y

b

=1，

1

a2

+

1

b2

=1．当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)，P在椭圆上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

k2

b2

，R在椭圆上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

1

k2b2

．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得

1

a2

+

1

b2

=1．故当d=1时，有

1

a2

+

1

b2

=1．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

3

和2-

3

，
∴2a=4，a=2，2c=2

3

，c=

3

，
∴椭圆的方程：

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为

x

a

+

y

b

=1，d=1?

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为

x

a

+

y

b

=1，d=1?

1

a2

+

1

b2

=1．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)
P在椭圆上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

k2

b2

①；
R在椭圆上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

1

k2b2

②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=(

x

2 1

+k2

x

2 1

)(

x

2 2

+

x 2 2

k2

)
整理得　

k2

x 2 2

+

1

x 2 1

=1+k2．再将①②代入，得

1

a2

+

1

b2

=1
综上当d=1时，有

1

a2

+

1

b2

=1．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．