Question

如图所示，在矩形ABCD中，且AB=1，BC=a，现沿AC折成二面角D－AC－B，使BD⊥AD，BD⊥BC．

(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；

(2)a为何值时，二面角D－AC－B为45°？

(3)a为何值时，异面直线AC与BD所成的角为60°？

Answer 1

答案：
解析：

如图，(1)∵AD⊥CD，AD⊥BD， ∴AD⊥面BCD， ∴BC⊥AD，又BC⊥BD， ∴BC⊥平面ABD，而BCÌ 面ABC，故面ABD⊥面ABC (2)∵面ABD⊥面ABC，作DE⊥AB于E，则 DE⊥面ABC，作EF⊥AC于F，可证明AC⊥DF， ∴∠DFE为二面角D－AC－B的平面角． 在Rt△ADC中，，∴， 又Rt△AEC∽Rt△ABC， ∴， 在Rt△ADC中，， 在Rt△DEF中，， 即，∴． (3)作BM⊥AC于M过点B作BN∥AC与FE的延长线交于点N，则BMFN为矩形，且BN⊥DN．于是∠DBN为异面直线AC与BD所成的角． ∵， 在Rt△CBD中，． 在Rt△BND，， 即，解之得．

提示：

第(1)问易证，第(2)问和第(3)问要分别作出平面角和线线角，然后建立含a的方程即可．本题是有关面面角、线线角的逆向问题，关键是作出这些角，然后归结为解有关三角形，难点是计算三角形中有关的线段长．