Question

设函数f（x）定义域为R且f（x）的值恒大于0，对于任意实数x，y，总有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（0）=1，且f（x）在R上单调递减；
（2）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=0，即可证得f（0）=1；设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），可判断其符号大于0，从而可证f（x）在R上单调递减；
（2）由f（x²）•f（y²）＞f（1），得f（x²+y²）＞f（1），利用f（x）在R上单调递减的性质可知x²+y²＜1；由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，由∩B≠∅，可知直线与圆相交，从而可求得a的取值范围．

解答：解：（1）证明：令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
又当x＜0时，f（x）＞1，所以有f（0）=1 …（2分）
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，于是f（x₁-x₂）＞1…3分
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）…4分
=f（x₁-x₂）•f（x₂）-f（x₂）
=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]…5分
∵f（x）在R上恒大于0，
∴f（x₂）＞0，
∴f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在R上单调递减；…6分
（2）由f（x²）•f（y²）＞f（1），得f（x²+y²）＞f（1），
∵f（x）在R上单调递减，
∴x²+y²＜1，即A表示圆x²+y²=1的内部…8分
由f（ax-y+2）=1=f（0）得：ax-y+2=0，
∴B表示直线ax-y+2=0…10分
∵A∩B≠∅，
∴直线与圆相交，即

2

1+a2

＜1解得：a＞

3

或a＜-

3

…13分

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数单调性的判定，考查子集与交集、并集运算的转换，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于难题．