Question

求函数y=的定义域和值域.

Answer 1

思路分析:利用换元法转化为基本函数求定义域、值域问题.在遇到sinx+cosx和sinxcosx相关的问题时，常采用换元法，用sinx+cosx表示sinxcosx，但要注意，sinx+cosx的取值范围是［-，］，以保证函数间的等价关系.

解:要使函数有意义必须且只需1+sinx+cosx≠0即sin(x+)≠-,

∴x+≠+2kπ,且x+≠+2kπ,k∈Z,

    即x≠π+2kπ且x≠+2kπ,k∈Z.

∴函数y=的定义域是{x∈R|x≠π+2kπ,x≠+2kπ,k∈Z}.

    设t=sinx+cosx=2sin(x+),则-2≤t≤2且t≠-1.

    又y==,

∴-≤y≤且y≠-1.

∴函数y=的值域为［-,-1)∪(-1,］.