Question

已知f（x）为偶函数，且x＞0时，f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0)．
（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）时函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性的定义进行判断和证明即可
（2）由（1）可知函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的单调性，结合单调性及已知函数的 值域可求a
（3）可设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），结合已知x＞0时的函数解析式及函数为偶函数可求

解答：（本小题满分14分）
解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．．…（1分）
证明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

1

a

-

1

x1

-

1

a

+

1

x2

=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．…（3分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数..…（6分）
（2）由（1）知函数f（x）在区间[

1

2

，2]上是增函数，值域为[

1

2

，2]，．…（7分）
∴f（

1

2

）=

1

2

，f（2）=2，．…（9分）
即

1 a -2= 1 2 1 a - 1 2 =2

，解得a=

2

5

..…（11分）
（3）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

．…（12分）
又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=

1

a

-

1

-x

=

1

a

+

1

x

..…（14分）

点评：本题综合考查了函数的单调性、函数的奇偶性及函数的值域等知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本知识