Question

在三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点。

（1）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（3）求二面角D-A₁C-A的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：因为侧面，均为正方形， 所以 所以平面，三棱柱是直三棱柱 因为平面， 所以，　　　　　　　　 又因为，D为中点， 所以 因为 所以平面。
（2）证明：连结，交于点O，连结， 因为为正方形， 所以O为中点， 又D为中点， 所以OD为中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面。 （3）因为侧面，均为正方形，， 所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 设，则 设平面的法向量为，则有 ，， 取得 又因为平面 所以平面的法向量为 因为二面角是钝角， 所以，二面角的余弦值为。