Question

【题目】如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED= ．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．
（Ⅰ）求证：ED⊥CD；
（Ⅱ）求证：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出 的值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．

又因为CD⊥EA，

所以CD⊥平面EAD．

所以ED⊥CD．

（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，

所以AD∥平面FBC．

又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

所以AD∥MN

（Ⅲ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：

连接DF．

因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，

所以AD⊥平面CDEF．

所以AD⊥DM．

因为AD∥MN，所以DM⊥MN．

因为平面ADMN∩平面FBC=MN，

若使平面ADMN⊥平面BCF，

则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．

在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED= ，

所以DF=DC=2．

所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．

所以 = ．

【解析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面EAD，即可证明ED⊥CD；（Ⅱ）证明AD∥平面FBC，即可证明：AD∥MN；（Ⅲ）若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2．若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)的相关知识才是答题的关键．