Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A，B两点（B在上）．
（1）若点D的坐标为（0，3），求圆D的方程；
（2）设点P的坐标为（-3，0）当点D在y轴上运动时，求当∠APB最大时，直线PA的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：（1）若点D的坐标为（0，3），根据两圆外切求出圆的半径即可求圆D的方程；
（2）设出A，B的坐标结合斜率判断当∠APB取得最大值时，对应的等价条件即可求直线PA的方程．

解答： 解：（1）若点D的坐标为（0，3），
∵圆D的与圆C外切，
∴CD=

32+(-4)2

=5，
设圆D的半径为r，则2+r=5，即r=3
则圆D的方程为：x²+（y-3）²=9；
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，则（r+2）²=16+a²，A、B的坐标分别为（0，a-r），（0，a+r）
∴直线PA的斜率k_PA=

a-r

3

，k_PB=

a+r

3

，
则tan∠APB=

a+r 3 - a-r 3

1+ a+r 3 × a-r 3

=

6r

a2-r2+9

=

6r

(r+2)2-16-r2+9

=

3

2

+

9

8r-6

，
由（r+2）²=16+a²≥16
得|r+2|≥4，解得r≥2，此时a=0，
∴当r=2时，tan∠APB=

3

2

+

9

8r-6

取得最大值，

此时a=0，r=2，则A（0，-2），k_PA=

a-r

3

=

2

3

，
则直线PA的方程为y=

2

3

（x-3），
即2x-3y-6=0．

点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，根据两圆外切的等价条件是解决本题的关键．