Question

13．设p：函数f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]内有零点；q：a＞0，函数g（x）=x²-alnx在区间$（0，\frac{a}{2}）$内是减函数．若p和q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 把函数f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]内有零点，转化为a在函数y=x³-3x（x∈[$-\frac{1}{2}，\sqrt{3}$]）的值域内．
利用导数求出函数y=x³-3x在[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]上的最值求得p：$a∈[-2，\frac{11}{8}]$．再由函数g（x）=x²-alnx在区间$（0，\frac{a}{2}）$内是减函数，得g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0）在$（0，\frac{a}{2}）$内小于等于0恒成立，由此求出q：a∈（0，2]．然后分p真q假和p假q真求得实数a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x³-3x-a在x∈[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]内有零点，
等价于a在函数y=x³-3x（x∈[$-\frac{1}{2}，\sqrt{3}$]）的值域内．
由y′=3x²-3，可知当x∈[$-\frac{1}{2}$，1）时，y′＜0，当x∈（1，$\sqrt{3}$]时，y′＞0，
∴y=x³-3x在[$-\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]上的极小值为-2，又当x=-$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{11}{8}$，当x=$\sqrt{3}$时，y=0．
∴p：$a∈[-2，\frac{11}{8}]$．
函数g（x）=x²-alnx在区间$（0，\frac{a}{2}）$内是减函数．
则g′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0）在$（0，\frac{a}{2}）$内小于等于0恒成立，
∴$\sqrt{\frac{a}{2}}$≥$\frac{a}{2}$，则0≤a≤2，又a＞0，
∴q：a∈（0，2]．
当p真q假时，a∈[-2，0]，当p假q真时，$a∈（\frac{11}{8}，2]$．
综上，a的取值范围为[-2，0]∪$（\frac{11}{8}，2]$．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．