Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

（1）根据导数的几何意义可知，在的导数是曲线在处切线的斜率，列方程求；（2）不等式变形为设，可得递增，所以在恒成立，

变形为恒成立，转化为求函数的最值；（3）不等式等价于，设，求，然后讨论极值点和定义域的关系，分，和三种情况求函数在上的最小值，令最小值小于0，分别解关于的不等式，得到的取值范围.

（1）的导数为，曲线在处的切线斜率为，

由切线的方程为，可得，

解得；

（2），

对任意两个不等的正数，都有恒成立，即为

令，可得递增，

由恒成立，

可得的最大值，由可得最大值，

则，即的取值范围是；

（3）不等式等价于，

整理得，设，

则由题意可知只需在上存在一点，使得．

对求导数，得

因为，所以，令，得．

①若，即时，令，解得．

②若，即时，在处取得最小值，

令，即，

可得

对于式子，因为，可得左端大于，而右端小于，所以不等式不能成立

③当，即时，在上单调递减，只需，得，

又因为，则．

综上所述，实数的取值范围是．