Question

已知是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n，设集合．试问下列命题是否是真命题，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．

（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）至多有一个元素；

（3）当a₁≠0时，一定有．

 

Answer 1

【答案】

见解析

【解析】

试题分析：（1）正确．在等差数列中，则这表明点　的坐标适合方程，于是点均在直线上．

　（2）正确．设,则（x，y）中的坐标x，y应是方程组的解．由方程组消去y得：，当a₁＝0时，方程（*）无解，此时；当a₁≠0时，方程(*)只有一个解，此时，方程组也只有一个解，故上述方程组至多有一解．

∴至多有一个元素．

（3）不正确．取a₁=1,d=1，对一切的有，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于．如果，那么由（2）知中至多有一个元素，而，

这样的，矛盾，故a₁＝1，d＝1时，所以a₁≠0时，一定有是不正确的．

考点：本题主要考查集合的运算、等差数列及其性质、直线方程。

点评：这是解析几何与数列的综合题目，属中档题。对于数列的应用考查的比较多，这种题目可以作为高考卷的压轴题目出现，题目中对于最后一问的证明要注意应用前面的结论。