Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB， FG∥BC，EG∥AC，AB=2EF，
（Ⅰ）若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）若AC=BC=2AE，求二面角A-BF-C的大小．

Answer 1

（Ⅰ）证明：EF∥AB，AB=2EF，可知延长BF交AE于点P，
而FG∥BC，EG∥AC，
则平面平面AEGC，
即P∈平面BFGC∩平面AEGC=GC，
于是BF，CG，AE三线共点，，
若M是线段AD的中点，而，
则，四边形AMGF为平行四边形，则GM∥AF，
又平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE；
（Ⅱ）解：由EA⊥平面ABCD，作CH⊥AB，则CH⊥平面ABFE，
作HT⊥BF，连接CT，则CT⊥BF，
于是∠CTH为二面角A-BF-C的平面角。
若AC=BC=2AE，设AE=1，则AC=BC=2，，H为AB的中点，
，，
，
在Rt△CHT中，，
则∠CTH =60°，
即二面角A-BF-C的大小为60°。