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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （1）如图，设圆O：x2+y2=a2的两条互相垂直的直径为AB、CD，E在弧BD上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    为定值
    （2）将椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）与x2+y2=a2相类比，请写出与（1）类似的命题，并证明你的结论．
    （3）如图，若AB、CD是过椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）中心的两条直线，且直线AB、CD的斜率积kAB•kCD=-
    b2
    a2
    ，点E是椭圆上异于A、C的任意一点，AE交直线CD于K，CE交直线AB于L，求证：(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    为定值．
    分析：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F点．由于CD⊥AB，可得EF∥CD，利用平行线的性质可得
    EK
    AK
    =
    FO
    OA
    ，
    EL
    CL
    =
    EF
    CO
    ，再利用EF2+FO2=OE2=a2，即可证明为定值．
    （2）命题：如图，设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    为定值．与（1）类比：再利用点E满足椭圆的方程即可证明为定值．
    （3）如图所示，过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．
    可得
    EK
    KA
    =
    FO
    AO
    ，
    EL
    CL
    =
    MO
    CO
    ．设A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
    则
    x
    2
    0
    a2
    +
    y
    2
    0
    b2
    =1    ．设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为y=-
    b2
    a2k
    x    ．直线EF的方程为y-y0=-
    b2
    a2k
    (x-x0)    ，直线EM的方程为y-y0=k（x-x0）．
    联立方程可解得xF．xM．
    x
    2
    1
    ，
    x
    2
    2
    ．可得(
    EK
    AK
    )2=(
    FO
    AO
    )2    =
    x
    2
    F
    +
    y
    2
    F
    x12+
    y
    2
    1
    =
    x
    2
    F
    x
    2
    1
    ．同理(
    EL
    CL
    )2=
    x
    2
    M
    x
    2
    2
    ．
    于是(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    =
    x
    2
    F
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    M
    x
    2
    2
    =
    x
    2
    F
    x
    2
    2
    +
    x
    2
    M
    x
    2
    1
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    ，代入计算即可．
    解答：解：（1）如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F点，
    ∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
    ∴
    EK
    AK
    =
    FO
    OA
    ，
    EL
    CL
    =
    EF
    CO
    ，
    又EF2+FO2=OE2=a2，
    ∴(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    =(
    FO
    OA
    )2+(
    EF
    CO
    )2    =
    FO2+EF2
    a2
    =
    a2
    a2
    =1．为定值．
    （2）如图，设椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0），椭圆的长轴、短轴分别为AB、CD，E在椭圆的BD部分上，AE交CD于K，CE交AB于L，求证：(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    为定值．
    证明：过点E作EF⊥AB，垂足为F点，
    ∵CD⊥AB，∴EF∥CD，
    ∴
    EK
    AK
    =
    FO
    OA
    ，
    EL
    CL
    =
    EF
    CO
    ，
    ∴(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    =(
    FO
    OA
    )2+(
    EF
    CO
    )2    =
    FO2
    a2
    +
    EF2
    b2
    =1．为定值．
    （3）如图所示，
    过点E分别作EF∥CD交AB与点F，EM∥AB交直线CD于点M．
    ∴
    EK
    KA
    =
    FO
    AO
    ，
    EL
    CL
    =
    MO
    CO
    ．
    设A（x1，y1），C（x2，y2），D（-x2，-y2），B（-x1，-y1）．E（x0，y0）．
    则
    x
    2
    0
    a2
    +
    y
    2
    0
    b2
    =1    ．
    设直线AB的方程为y=kx（k≠0），则直线CD的方程为y=-
    b2
    a2k
    x    ．
    直线EF的方程为y-y0=-
    b2
    a2k
    (x-x0)    ，直线EM的方程为y-y0=k（x-x0）．
    联立
    y=kx
    y-y0=-
    b2
    a2k
    (x-x0)
    解得xF=
    a2ky0+b2x0
    a2k2+b2
    ．
    联立
    y=-
    b2
    a2k
    x
    y-y0=k(x-x0)
    ，解得xM=
    a2k(kx0-y0)
    a2k2+b2
    ．
    联立
    y=kx
    b2x2+a2y2=a2b2
    解得
    x
    2
    1
    =
    a2b2
    a2k2+b2
    ．
    联立
    y=-
    b2
    a2k
    x
    b2x2+a2y2=a2b2
    ，解得
    x
    2
    2
    =
    a4k2
    a2k2+b2
    ．
    ∴(
    EK
    AK
    )2=(
    FO
    AO
    )2    =
    x
    2
    F
    +
    y
    2
    F
    x12+
    y
    2
    1
    =
    x
    2
    F
    x
    2
    1
    ．
    同理(
    EL
    CL
    )2=
    x
    2
    M
    x
    2
    2
    ．
    ∴(
    EK
    AK
    )2+(
    EL
    CL
    )2    =
    x
    2
    F
    x
    2
    1
    +
    x
    2
    M
    x
    2
    2
    =
    x
    2
    F
    x
    2
    2
    +
    x
    2
    M
    x
    2
    1
    x
    2
    1
    x
    2
    2
    =
    (
    a2ky0+b2x0
    a2k2+b2
    )2•
    a4k2
    a2k2+b2
    +(
    a2k(kx0-y0)
    a2k2+b2
    )2•
    a2b2
    a2k2+ b2
    a2b2
    a2k2+b2
    •
    a4k2
    a2k2+b2
    =
    x
    2
    0
    a2
    +
    y
    2
    0
    b2
    =1    ．为定值．
    点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、平行线分线段成比例定理、直线与直线相交问题、直线与椭圆相交问题、问题转化方法等是解题的关键．本题同时考查了较强的计算能力、类比推理能力．
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    		px1
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    		px2
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    （1）求p的取值范围；
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    CA
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    CB
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    cosA
    cosB
    =
    b
    a
    =
    		3
    1
    ．
    （1）求证：△ABC是直角三角形；
    （2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧
    AC
    上，求△PAC面积最大值．

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    （2）如图，设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，求△PAC面积最大值．

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