Question

证明方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解。（精确度0.1）

Answer 1

证明：设函数f(x)=2^x+3x-6，因为f(1)=-1＜0，f(2)=4＞0，所以f(1)·f(2)＜0，
又因为f(x)在R上连续且是增函数，所以函数f(x)在区间[1，2]内有唯一的零点，
所以方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解。
设此解为x₀，则x₀∈[1，2]，
取x₁=1.5，f(1.5)≈1.33＞0，f(1)·f(1.5)＜0，所以x₀∈(1，1.5)；
取x₂=1.25，f(1.25)≈0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1，1.25)；
取x₃=1.125，f(1.125)≈-0.44＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.125，1.25)；
取x₄=1.187 5，f(1.187 5)≈-0.16＜0，f(1.187 5)·f(1.25)＜0，所以x₀∈(1.187 5，1.25)；
因为|1.25-1.187 5|=0.062 5＜0.1，所以可取x₀=1.187 5，
即方程6-3x=2^x的实数解的近似值可取为1.187 5。