Question

若2^x+3^x+6^x=7^x，则方程的解集为

{2}

．

Answer 1

分析：由2^x+3^x+6^x=7^x，知(

1

3

)x+(

1

2

)x +1=(

7

6

)x，由y=(

1

2

)x+(

1

3

)x+1是减函数，y=(

7

6

)x是增函数，知最多只有一解．当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，故x=2．

解答：解：∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴(

1

3

)x+(

1

2

)x +1=(

7

6

)x，
∵y=(

1

2

)x+(

1

3

)x+1是减函数，
y=(

7

6

)x是增函数，
∴最多只有一解．
当x≥3时，
∵左≤1+

1

9

+

1

4

=1+

13

36

，
右（1+

1

6

）^x≥1+

1

2

，
∴x≥3无解．
当x=1时，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案为：2．

点评：本题考查幂函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用．