Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD= 60°。

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；

(2)求点A到平面PBD的距离；

(3)求二面角B—PC—A的大小。(14分)

 

 

Answer 1

【答案】

（1）略（2）（3）

【解析】(1) 证：…4分

(2) 解：连结PO，过A作AE⊥PO，平面PAC平面PBD=PO

∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，计算得……8分

(3) 解：过O作OF⊥PC，连BF，∵OB⊥平面PAC，由三垂线定理，PC⊥BF，

∴∠OFB为二面角B-PC-A的平面角，经计算得，，，

∴

∴,所求二面角大小为…14分

解法二：如图,以A原点，AB为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，

过D作DE⊥AB于E，则DE=ADsin60°=， AE=ADcos60°=1，∴，，

(1)设是平面PBD的法向量，则，

又，∴令则，，∴

设是平面PAC的法向量,则，又，∴

∴令则，∴， ∵∴，∴平面PBD⊥平面PAC

(2)所求距离为

(3)设是平面PBC的法向量，则，

又,∴令则，，∴

，即二面角B-PC-A的大小为 .