Question

如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB＝BC＝CA＝BD＝2AE，F为CD中点．

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；

（Ⅱ）求二面角C－DE－A的大小．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，F，G分别为DC，BC中点，

得到平面ABC⊥平面BCD，

G为 BC中点，且AC=AB，推出AG⊥BC，从而AG⊥平面BCD， EF⊥平面BCD．

（Ⅱ）二面角C－DE－A的大小为 

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，

∵F，G分别为DC，BC中点，

∴FG∥BD且FG＝BD，又AE∥BD且AE＝BD，

∴AE∥FG且AE＝FG，∴四边形EFGA为平行四边形，

∴EF∥AG，∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，

BD⊥平面ABC，又∵DB平面BCD，

平面ABC⊥平面BCD，∵G为 BC中点，且AC=AB，

∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，

∴EF⊥平面BCD．              6分

（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，，．

设面CDE的法向量，则

取，         8分

取面ABDE的法向量，          10分

由，

故二面角C－DE－A的大小为．                12分

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。