Question

根据下列条件求各函数的表达式．
（1）已知 f(

2

x

+1)=lgx，求f（x）；
（2）已知f(x-

1

x

)=

1

x2

+x2+1，求f（x）；
（3）已知f（x）满足2f(x)+f(

1

x

)=3x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）换元，令

2

x

+1=t得x=

2

t-1

，代入函数关系式算出f（t）=lg

2

t-1

，即可得到所求函数表达式；
（2）配方得：

1

x2

+x2+1=（x-

1

x

）²+3，代入函数关系式即可得到所求函数表达式；
（3）用

1

x

代替x得到关于f(x)、f(

1

x

)的另一个关系式，与已知等式联解消去f（

1

x

），即可得到所求函数表达式．

解答：解：（1）令

2

x

+1=t，得x=

2

t-1

，
∵f(

2

x

+1)=lgx，∴f（t）=lg

2

t-1

，
因此函数表达式为f（x）=lg

2

x-1

；
（2）∵

1

x2

+x2+1=（x-

1

x

）²+3，
∴f(x-

1

x

)=

1

x2

+x2+1=(x-

1

x

)2+3，
∴f（t）=t²+3，即函数表达式为f（x）=x²+3；
（3）用

1

x

代替x，得2f(

1

x

)+f(x)=3•

1

x

…①
又∵2f(x)+f(

1

x

)=3x…②
∴①②联解，消去f（

1

x

）得f（x）=2x

1

x

，即为所求函数表达式．

点评：本题给出函数满足的关系式，求函数的解析式．着重考查了配方、换元等函数解析式的求解的常用方法等知识，属于中档题．