Question

7．现有半径为R、圆心角（∠AOB）为90°的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示．其中E，F分别在OA，OB上，C，D在$\widehat{AB}$上，且OE=OF，EC=FD，∠ECD=∠CDF=90°．记∠COD=2θ，五边形OECDF的面积为S．
（1）试求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）设M是CD中点，连OM，推出∠COM=∠DOM=$\frac{1}{2}∠COD=θ$，MD=Rsinθ，利用△CEO≌△DFO，转化求解∠DFO=$\frac{3π}{4}$，在△DFO中，利用正弦定理$\frac{DF}{sin∠DOF}=\frac{DO}{sin∠DFO}$，求解S=S_△COD+S_ODF+S_OCE=S_△COD+2S_ODF的解析式即可．
（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可．

解答 解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OM⊥CD，
∠COM=∠DOM=，$\frac{1}{2}∠COD=θ$，MD=Rsinθ，
又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得△CEO≌△DFO，
故∠EOC=∠DOF，可知$∠AOM=∠BOM=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{π}{4}$，…（2分）
又DF⊥CD，OM⊥CD，所以MO∥DF，故∠DFO=$\frac{3π}{4}$，
在△DFO中，有$\frac{DF}{sin∠DOF}=\frac{DO}{sin∠DFO}$，
可得$DF=\frac{{Rsin（\frac{π}{4}-θ）}}{{sin\frac{3π}{4}}}=R（cosθ-sinθ）$…（5分）
所以S=S_△COD+S_ODF+S_OCE=S_△COD+2S_ODF=$\frac{1}{2}{R^2}sin2θ+Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）$
=${R^2}sin2θ-{R^2}{sin^2}θ（0＜θ＜\frac{π}{4}）$…（8分）
（2）$S={R^2}sin2θ-\frac{1}{2}{R^2}（1-cos2θ）={R^2}（sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ）-\frac{1}{2}{R^2}$…（10分）
=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}{R^2}sin（2θ+φ）-\frac{1}{2}{R^2}$（其中$φ=arctan\frac{1}{2}$）                  …（12分）
当$2θ+φ=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{4}-\frac{φ}{2}$时，sin（2θ+φ）取最大值1．
又$\frac{π}{4}-\frac{φ}{2}$$∈（0，\frac{π}{4}）$，所以S的最大值为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}{R^2}$．                   …（14分）

点评 本题考查函数与方程的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．