Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（Ⅰ）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n是一个常数．

Answer 1

分析：（I）将等式a_n+1=2a_n+2ⁿ两边同时除以2ⁿ⁺¹，然后化简整理，根据等差数列的定义可判定；
（Ⅱ）根据（I）求出数列{a_n}的通项公式，然后利用错位相消法求数列{a_n}的前n项和为S_n，最后再判定对任意的n∈N₊，S_n+1-aa_n是否是一个常数．

解答：解：（I）∵a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

∴数列{

an

2n

}是以

a1

21

=

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列
（Ⅱ）由（I），知

an

2n

=

1

2

+

1

2

（n-1）=

n

2

∴a_n=n•2^n-1
∴S_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1
∴2S_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
由②-①，可得S_n=n•2ⁿ-（1+2+2²+…2^n-1）=（n-1）•2ⁿ+1
∴S_n+1-4a_n=n•2ⁿ⁺¹+1-4n•2^n-1=1，故结论成立．

点评：本题主要考查了等差关系的确定，以及数列的递推关系和利用错位相消法求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．