Question

已知函数（a，b，c为常数，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列a_n满足条件：点（n，a_n）在函数的图象上，求a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），证明：；
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列x_n满足，x_n+1=f（x_n），求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）依条件有f（x）=ax+b．
因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，所以a_n=f（n）=an+b．
因为a_n+1-a_n=a（n+1）+b-（an+b）=a，
所以a_n是首项是a₁=a+b，公差为d=a的等差数列．（1分）
所以=．
即数列a_n的前n项和S_n=．（2分）
（Ⅱ）证明：依条件有即解得
所以a_n=2n+1．
所以．（3分）
因为2S_p+q-（S_2p+S_2q）=2[（p+q）²+2（p+q）]-（4p²+4p）-（4q²+4q）=-2（p-q）²，
又p≠q，所以2S_p+q-（S_2p+S_2q）＜0．
即．（5分）
（Ⅲ）依条件．
因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0．
即．解得b=0．所以．
又f（1）=1，所以a=2．
故．（6分）
因为x_n+1=f（x_n），所以．所以时，有x_n+1＞0（n∈N^*）．
又，
若x_n+1=1，则x_n=1．从而x₁=1．这与矛盾．
所以0＜x_n+1＜1．（8分）
所以．
所以．（10分）
所以=．（12分）
因为，x_n+1＞x_n，所以．所以．
所以．（14分）
分析：（Ⅰ）已知函数，因为点（n，a_n）在函数f（x）=ax+b的图象上，可得a_n是首项是a₁=a+b，公差为d=a的等差数列，从而求出a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的条件，求出a_n的通项公式，因为2S_p+q-（S_2p+S_2q），化简后即可证明；
（Ⅲ）依条件．因为f（x）为奇函数，所以f（-x）+f（x）=0，代入求出b值，从而求出f（x）的表达式，然后利用放缩法进行证明；
点评：此题难度系数比较大，是数列与不等式的证明相结合，是高考中的压轴题，也是一个热点问题，方法比较新颖，放缩不等式的时候技巧性比较强；