Question

已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1，0），线段AB恰被M（2，1）所平分．   
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令抛物线E的方程，根据抛物线E的焦点为（1，0），即可求得结论；
（Ⅱ）利用点差法，结合线段AB恰被M（2，1）所平分，求出AB的斜率，即可求得直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）令抛物线E的方程：y²=2px（p＞0）
∵抛物线E的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线E的方程：y²=4x    
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减，得（y₂-y₁）/（y₁+y₂）=4（x₂-x₁）
∵线段AB恰被M（2，1）所平分
∴y₁+y₂=2
∴

y2-y1

x2-x1

=2
∴AB的方程为y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．