Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log₂3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（　　）

• A、（-1，-1+2

  2

  ）
• B、（-∞，-1+2

  2

  ）
• C、（-∞，-1）
• D、[-1+2

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：根据抽象函数满足的函数值的性质确定出f（0）=0是解决本题的关键，结合f（0），f（3）的大小关系确定出该函数的单调性，将函数值的关系转化为自变量关系进而求解出实数k的取值范围．

解答：解：令x=y=0，得出f（0）=2f（0）?f（0）=0．
又根据f（3）=log₂3＞0=f（0），f（x）是R上的单调函数进一步确定出f（x）是R上的单调递增函数．
因此f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）=f（k•3^x+3^x-9^x-2）＜0=f（0）?k•3^x+3^x-9^x-2＜0?k＜3^x+

2

3x

-1，
根据基本不等式得到3^x+

2

3x

-1≥2

3x× 2 3x

-1=2

2

-1，当且仅当3^x=

2

，即x=

1

2

log32时取等号，
因此k＜3^x+

2

3x

-1对任意x∈R恒成立?k＜3^x+

2

3x

-1的最小值，即k＜-1+2

2

．
故选B．

点评：本题考查抽象函数的赋值思想求函数值，考查函数单调性的应用，即借助函数单调性根据函数值大小确定出自变量大小，进而得出关于字母的不等式，利用分离变量的思想转化为函数的最值问题，通过基本不等式求解出函数的最值，求出字母的取值范围．考查学生的转化与化归的思想．