Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．设

AB

=

a

，

AC

=

b

，若

AO

=m

a

+n

b

，则m-n=

-

1

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线p方程和AC的中垂线q的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求m和n的值．

解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-

1

2

，

3

2

），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线p：x=1 上，又在AC的中垂线 q 上，
AC的中点（-

1

4

，

3

4

），AC的斜率为-

3

，
∴中垂线q的方程为 y-

3

4

=-

3

3

（x+

1

4

）．
把直线p和q的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，

2 3

3

），
由条件

AO

=m

a

+n

b

，
得（1，

2 3

3

）=m（2，0）+n（-

1

2

，

3

2

）=（2m-

1

2

n，

3

2

n ），
∴2m-

1

2

n=1，

3

2

n=

2 3

3

，
∴m=

5

6

，n=

4

3

，
∴m-n=-

1

2

故答案为：-

1

2

点评：本题主要考查了求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值，同时考查了运算求解的能力，属中档题．