Question

已知双曲线x²-y²=a²上任一点P（x，y）到中心的距离为d，它到两焦点的距离分别为d₁，d₂，试证明d，d₁，d₂之间满足关系d²=d₁d₂．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的焦点坐标，运用两点的距离公式以及点在双曲线上满足双曲线方程，化简整理，即可得证．

解答： 证明：∵双曲线方程为：x²-y²=a²，
∴

x2

a2

-

y2

a2

=1．
半焦距c满足：c²=a²+a²，则c=

2

a．
∴焦点坐标为F₁（-

2

a，0），F₂（

2

a，0），
P满足双曲线方程x²-y²=a²，即有y²=x²-a²，
则d=

x2+y2

=

2x2-a2

d₁=

(x+ 2 a)2+y2

=

2x2+2 2 ax+a2

，
d₂=

(x- 2 a)2+y2

=

2x2-2 2 ax+a2

即有d₁d₂=

(2x2+a2)2-8a2x2

=|2x²-a²|=2x²-a²，
则有d²=d₁d₂．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查两点的距离公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．