Question

（2012•眉山一模）已知正项数列{an}满足a1=1，

a

2 n+1

-

a

2 n

-2an+1-2an=0(n∈N*)．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若C_n+1-C_n=a_n+1，且C₁=1，求{C_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=

an+1

2n

，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．

Answer 1

分析：（I）要证数列{a_n}是等差数列，只要证明a_n+1-a_n为常数，由a_n＞0 及已知递推关系可证
（II）由（I）知求a_n=2n+1，从而可得C_n+1-C_n=2n+1，故可利用迭代法C_n=（C_n-C_n-1）+（C_n-1-C_n-2）+…+（C₃-C₂）+（C₂-C₁）+C₁求解
（III）由bn=

an+1

2n

=

2n+1

2n

，结合数列的通项的特点，故考虑利用错位相减求和即可

解答：（I）证明：由已知可得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）-2（a_n+1+a_n）=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵a_n＞0
∴a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）解：由（I）知a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴C_n+1-C_n=2n+1
当n≥2时，C_n=（C_n-C_n-1）+（C_n-1-C_n-2）+…+（C₃-C₂）+（C₂-C₁）+C₁
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=

n(1+2n-1)

2

=n2
当n=1时，C1=1=12适合上式
∴Cn=n2（8分）
（III）解：∵bn=

an+1

2n

=

2n+1

2n

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

①

1

2

Tn=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

②
①-②可得，

1

2

Tn=

3

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

3

2

+2×

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

∴Tn=5-

2n+5

2n

（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的定义法在证明等差数列中的应用，解题的关键是对已知递推公式进行变形，迭代法在数列通项求解中的应用及利用错位相减求和方法的应用，本题考查综合数列的递推关系、通项求解，数列求和等知识的综合