Question

已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若·＝－23，求直线m的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）－y²＝1；（2）y＝x－1.

【解析】本试题主要考查双曲线的性质和方程的求解和运用，并利用向量为工具，求解直线与双曲线的位置关系的综合运用。

解：(1)依题意，l方程＋＝1，即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为，得＝＝，

又e＝＝，∴b＝1，a＝.   故所求双曲线方程为－y²＝1.

(2)显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y＝kx－1，

则点M、N坐标(x₁，y₁)，(x₂，y₂)

是方程组y＝kx－1，－y²＝1的解，

消去y，得(1－3k²)x²＋6kx－6＝0.①

依题意，1－3k²≠0，由根与系数关系，

知x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

·＝(x₁，y₁)·(x₂，y₂)＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁－1)(kx₂－1)

＝(1＋k²)x₁x₂－k(x₁＋x₂)＋1＝－＋1＝＋1.

又∵·＝－23，

∴＋1＝－23，k＝±，

当k＝±时，方程①有两个不相等的实数根，

所以所求直线方程为y＝x－1.