Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}，且a₁=1，a_n+1+2a_n•a_n+1-a_n=0，2a_n+b_n=1，（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，由此推测{a_n}的通项并给出证明；
（2）证明：（1-b₁）（1-b₂）+（1-b₂）（1-b₃）+…+（1-b_n）（1-b_n+1）＜2．

Answer 1

分析 （1）分别根据a₁=1，a_n+1+2a_n•a_n+1-a_n=0，即可求出a₂，a₃，a₄的值，根据值可以猜想 ${a_n}=\frac{1}{2n-1}，（n∈{N^*}）$，并用数学归纳法证明．
（2）由（1）求出{1-b_n}的通项，求出（1-b_n）（1-b_n+1）再根据裂项求和以及放缩法即可证明．

解答 解（1）当n=1时，a₂+2a₁•a₂-a₁=0，∴${a_2}=\frac{1}{3}$，
同理${a_3}=\frac{1}{5}，{a_4}=\frac{1}{7}$，…（2分）
推测 ${a_n}=\frac{1}{2n-1}，（n∈{N^*}）$…（4分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，${a_2}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2×1-1}$，∴等式成立．…（5分）
②假设n=k时等式成立，即${a_k}=\frac{1}{2k-1}$，…（6分）
那么，a_k+1+2a_k•a_k+1-a_k=0，
${a_{k+1}}（1+\frac{2}{2k-1}）-\frac{1}{2k-1}=0$，
${a_{k+1}}=\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2（k+1）-1}$，
即当n=k+1时，${a_n}=\frac{1}{2n-1}$也成立，…（8分）
由①、②知对任意正整数n，${a_n}=\frac{1}{2n-1}，（n∈{N^*}）$都成立．…（9分）
（2）证明：∵2a_n+b_n=1，∴$1-{b_n}=2{a_n}=\frac{2}{2n-1}$，…（10分）
∴$（1-{b_n}）（1-{b_{n+1}}）=\frac{2}{2n-1}×\frac{2}{2n+1}=2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（12分）
∴（1-b₁）（1-b₂）+（1-b₂）（1-b₃）+…+（1-b_n）（1-b_n+1），
=$2（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+2（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+2（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
=$2（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（13分），
=$2（1-\frac{1}{2n+1}）＜2$…（14分）

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、裂项求和，属于中档题．