Question

2．已知x＞0，y＞0，且x+y＞2，求证：$\frac{1+y}{x}$＜2或$\frac{1+x}{y}$＜2．

Answer 1

分析 本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．

解答 证明：假设：$\frac{1+y}{x}$≥2且$\frac{1+x}{y}$≥2．即 $\left\{\begin{array}{l}{1+x≥2y}\\{1+y≥2x}\end{array}\right.$，
∴2+x+y≥2x+2y，
∴x+y≤2，这与x+y＞2矛盾．
∴假设不成立，
∴$\frac{1+y}{x}$＜2或$\frac{1+x}{y}$＜2．

点评 本考点是反证法证明命题，在作证明题时，对于一些条件相对较少或者证明时需要分类讨论的题型，最好试试用反证法能否证明问题．对于有些题如本题，用反证法证明可以大大降低题目的解决难度