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    （2012•浦东新区一模）设函数T(x)=
    2x，  0≤x＜
    1
    2
    2(1-x)，  
    1
    2
    ≤x≤1

    （1）求函数y=T（sin（
    π
    2
    x））和y=sin（
    π
    2
    T（x））的解析式；
    （2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
    （3）定义Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
    ①当x∈[0，
    1
    2n
    ]时，求y=Tn（x）的解析式；
    已知下面正确的命题：当x∈[
    i-1
    2n
    ，
    i+1
    2n
    ]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
    i
    2n-1
    -x）恒成立．
    ②对于给定的正整数m，若方程Tm（x）=kx恰有2m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{xn}（1≤n≤2m），求数列{xn}所有2m项的和．
    分析：（1）由0≤sin
    π
    2
    x＜
    1
    2
    和
    1
    2
    ≤sin
    π
    2
    x≤1    ，解出x的范围，然后直接把sin
    π
    2
    x    代入分段函数解析式即可，
    求y=sin（
    π
    2
    T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
    （2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
    而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
    （3）①当x∈[0，
    1
    2n
    ]时，x∈[0，
    1
    2
    ），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=Tn（x）的解析式；
    ②根据题目给出的条件：当x∈[
    i-1
    2n
    ，
    i+1
    2n
    ]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
    i
    2n-1
    -x）恒成立，
    求出当x∈[
    i
    2n
    ，
    i+1
    2n
    ]    （i∈N，0≤i≤2n-1）时的Tn（x）的解析式，再由方程Tm（x）=kx求得当x∈[
    i
    2m
    ，
    i+1
    2m
    ](i∈N，0≤i≤2m-1)    时，x=
    (2i+1)-(-1)i
    2m+1-(-1)i2k
    ，那么，数列{xn}所有2m项的和可利用分组进行求和．
    解答：解：（1）由0≤sin
    π
    2
    x＜
    1
    2
    ，得：4k≤x＜4k+
    1
    3
    或4k+
    5
    3
    ＜x≤4k+2    （k∈Z），
    由
    1
    2
    ≤sin
    π
    2
    x≤1    ，得：4k+
    1
    3
    ≤x≤4k+
    5
    3
    （k∈Z）．
    所以，函数y=T[sin(
    π
    2
    x)]    =
    2sin(
    π
    2
    x)  x∈[4k，4k+
    1
    3
    )∪(4k+
    5
    3
    ，4k+2]  k∈Z
    2-2sin(
    π
    2
    x)  x∈[4k+
    1
    3
    ，4k+
    5
    3
    ]  k∈Z
    ，

    函数y=sin(
    π
    2
    T(x))    =
    sin
    π
    2
    (2x)      x∈[0，
    1
    2
    )
    sin
    π
    2
    (2-2x)  x∈[
    1
    2
    ，1]
    ，
    所以，y=sin(
    π
    2
    T(x))=sin(πx)  x∈[0，1]    ．
    （2）y=aT(x)=
    2ax         0≤x＜
    1
    2
    2a(1-x)  
    1
    2
    ≤x≤1
    ，
    y=T(ax)=
    2ax         0≤ax＜
    1
    2
    2(1-ax)  
    1
    2
    ≤ax≤1
    ．
    当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
    当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
    综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
    （3）①当x∈[0，
    1
    2n
    ]    时，对于任意的正整数i∈N*，1≤i≤n-1，
    都有0≤2ix≤
    1
    2
    ，
    故有y=Tn(x)=Tn-1(2x)=Tn-2(22x)=…=Tn-i(2ix)=…=T(2n-1x)=2nx．
    ②由①可知当x∈[0，
    1
    2n
    ]    时，有Tn(x)=2nx，根据命题的结论可得，
    当x∈[
    1
    2n
    ，
    2
    2n
    ]⊆[
    0
    2n
    ，
    2
    2n
    ]    时，有
    1
    2n-1
    -x∈[
    0
    2n
    ，
    1
    2n
    ]⊆[
    0
    2n
    ，
    2
    2n
    ]    ，
    故有Tn(x)=Tn(
    1
    2n-1
    -x)=2n(
    1
    2n-1
    -x)    =-2nx+2．
    因此同理归纳得到，当x∈[
    i
    2n
    ，
    i+1
    2n
    ]    （i∈N，0≤i≤2n-1）时，
    Tn(x)=(-1)i(2nx-i-
    1
    2
    )+
    1
    2
    =
    2nx-i          i是偶数
    -2nx+i+1  i是奇数
    ．
    对于给定的正整数m，当x∈[
    i
    2m
    ，
    i+1
    2m
    ](i∈N，0≤i≤2m-1)    时，
    解方程Tm（x）=kx得，x=
    (2i+1)-(-1)i
    2m+1-(-1)i2k
    ，
    要使方程Tm（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2m个不同的实数根，
    对于任意i∈N，0≤i≤2m-1，必须
    i
    2m
    ＜
    (2i+1)-(-1)i
    2m+1-(-1)i2k
    ＜
    i+1
    2m
    恒成立，
    解得k∈(0，
    2m
    2m-1
    )    ，若将这些根从小到大排列组成数列{xn}，
    由此可得xn=
    (2n-1)+(-1)n
    2m+1+(-1)n2k
      （n∈N*，1≤i≤2m）．
    故数列{xn}所有2m项的和为：
    S=x1+x2+…+x2m-1+x2m
    =
    0+2+4+…+(2m-2)
    2m-k
    +
    2+4+6+…+2m
    2m+k

    =
    2m-1(4m-2k)
    4m-k2
    ．
    点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．
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    则称M是集合X的一个“M-集合类”．
    例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一个“M-集合类”．已知集合X={a，b，c}，则所有含{b，c}的“M-集合类”的个数为
    10
    10
    ．

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    1
    2
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    y=
    		2
    (x-2)
    1
    2
    +2
    y=
    		2
    (x-2)
    1
    2
    +2
    ．

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    		10
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    （2012•浦东新区二模）已知z=
    1
    1+i
    ，则
    .
    z
    =
    1
    2
    +
    1
    2
    i
    1
    2
    +
    1
    2
    i
    ．

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