Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）把已知的两等式变形后，根据两角和的正切函数公式及诱导公式化简，分别根据A和C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由正弦定理可求sinB，利用大边对大角及特殊角的三角函数值可求B，进而利用两角差的正弦函数公式可求sinC的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且A+B+C=180°，
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$，即tan（B+C）=-tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，
∵0°＜A＜180°，
∴∠A=120°．
（2）∵a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，∠A=120°．
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合b＜a，可得B=45°，
∴sinC=sin（60°-45°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题主要考查了两角和与差的正切函数公式、诱导公式、特殊角的三角函数值，以及大边对大角，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，其中灵活运用公式把已知的两等式进行三角函数的恒等变形，得到A的度数，进而得到C的度数是解本题的关键，属于中档题．