Question

2．已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＞f（x），则不等式f（2x-3）≥e^2x-4f（1）的解集为{x|x≥2}．

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求导数结合题意可得F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$单调递增，原不等式等价于F（2x-3）≥F（1），即2x-3≥1，解之可得．

解答 解：由题意构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
∴F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$单调递增，
又不等式f（2x-3）≥e^2x-4f（1）等价于$\frac{f（2x-3）}{{e}^{2x-3}}$≥$\frac{f（1）}{e}$，
即F（2x-3）≥F（1），∴2x-3≥1
解得不等式的解集为{x|x≥2}
故答案为：{x|x≥2}

点评 本题考查导数的运算，涉及不等式的解法和函数的单调性，构造函数并求得单调性是解决问题的关键，属中档题．