Question

私人办学是教育发展的方向.某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据,列表如下(以班级为单位):

市场调查表

	班级学生数	配备教师数	硬件建设费(万元)	教师年薪(万元)
初中	50	2.0	28	1.2
高中	40	2.5	58	1.6

根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、办公费,初中每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1 500元.因生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜(含20个与30个).教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年.请你合理地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?

Answer 1

解：设初中编制为x个班,高中编制为y个班,则依题意有     (*)

又设年利润为s万元,则s=(50×600÷10 000)x+(40×1 500÷10 000)y-2.4x-4y,即s=0.6x+2y.

现在直角坐标系内作出(*)所表示的可行域,如图所示.问题转化为在右图所示的阴影部分中,求直线s=0.6x+2y在y轴上的截距的最大值.

如图,虚线所示的为一组斜率为-0.3的直线,显然当直线过图中的A点时,纵截距y=s取最大值.

解联立方程组

得

设x=18,y=12代入s中,得s_max=34.8.

设经过n年可收回投资,则

第1年利润为

6×50×600÷10 000-6×2×1.2+4×40×1 500÷10 000-4×2.5×1.6=11.6(万元);

第2年利润为2×11.6=23.2(万元).

以后每年的利润均为34.8万元,

故依题意应有11.6+23.2+34.8(n-2)=1 200.

解得n≈35.5.

故学校规模以初中18个班,高中12个班为宜.第一年初中招生6个班约300人,高中招生4个班约160人.

从第三年开始年利润为34.8万元,约经过36年可以收回全部投资.