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    四棱锥S-ABCD中，已知
    AC
    =（1，1，1），
    AD
    =（10，-5，5），
    AB
    =（-1，2，0），
    SA
    =（2，1，-3）．
    （1）求证：BC∥AD；
    （2）四边形ABCD的面积；
    （3）求四棱锥S-ABCD的体积，并说明理由．
    分析：（1）由空间向量的坐标运算得出
    BC
    、
    AD
    的坐标，从而得到
    AD
    =5
    BC
    ，可得
    AD
    ∥
    BC
    ，即BC∥AD；
    （2）利用向量的夹角公式算出cos∠BAD=-
    4
    		30
    ，从而sin∠BAD=
    		1-cos2∠BAD
    =
    14
    30
    ，算出点B到AD的距离d=|
    AB
    |sin∠BAD=
    		21
    3
    ，再利用梯形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积；
    （3）经计算得
    SA
    •
    AD
    =0且
    SA
    •
    AB
    =0，可得
    SA
    ⊥
    AD
    且
    SA
    ⊥
    AB
    ，得SA⊥平面ABCD，SA即为四棱锥S-ABCD的高，算出|
    AD
    |=
    		14
    ，利用锥体的体积公式即可算出四棱锥S-ABCD的体积．
    解答：解：（1）∵
    AC
    =（1，1，1），
    AB
    =（-1，2，0），
    ∴
    BC
    =
    AC
    -
    AB
    =（2，-1，1），
    ∵
    AD
    =（10，-5，5），∴
    AD
    =5（2，-1，1）=5
    BC

    可得
    AD
    ∥
    BC
    ，即BC∥AD；
    （2）∵
    AB
    =（-1，2，0），
    AD
    =（10，-5，5），
    ∴cos∠BAD=
    -1×10+2×(-5)+0×5
    		5
    •5
    		6
    =-
    4
    		30

    可得sin∠BAD=
    		1-cos2∠BAD
    =
    14
    30
    ，
    ∴点B到AD的距离d=|
    AB
    |sin∠BAD=
    		5
    ×
    14
    30
    =
    		21
    3

    ∵BC∥AD，且BC≠AD，|
    BC
    |=
    		6
    且|
    AD
    |=5
    		6

    ∴梯形ABCD的面积为SABCD=
    1
    2
    （|
    BC
    |+|
    AD
    |）×
    		21
    3
    =3
    		14
    ；
    （3）∵
    AD
    =（10，-5，5），
    AB
    =（-1，2，0），
    SA
    =（2，1，-3）．
    ∴
    SA
    •
    AD
    =2×10+1×（-5）+（-3）×5=0，且
    SA
    •
    AB
    =2×（-1）+1×2+（-3）×0=0
    由此可得
    SA
    ⊥
    AD
    ，
    SA
    ⊥
    AB
    ，得SA⊥平面ABCD
    ∵|
    AD
    |=
    		22+12+(-3)2
    =
    		14

    ∴四棱锥S-ABCD的体积V=
    1
    3
    SABCD×|
    AD
    |=
    1
    3
    ×3
    		14
    ×
    		14
    =14．
    点评：本题给出几个空间向量的坐标，求由它们构成的四棱锥的体积．着重考查了空间向量的坐标运算、向量的夹角公式、模的公式和面积、体积公式等知识，属于中档题．
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    		2
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    		3
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