Question

（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（1）求，的值；

（2）如果当，且时，，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），。（Ⅱ）k的取值范围为（-，0]

【解析】

试题分析：（1）由函数，曲线在点处的切线方程为，可知f’(1)=- ,f(1)=1,进而得到参数a,b的值。

（2）构造函数，对于参数k分类讨论得到参数的取值范围。

（Ⅰ）

    由于直线的斜率为，且过点，故即

                           解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

                。

考虑函数，则

。

(i)设，由知，当时，。而，故

当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x² +1）+2x>0,故 (x）>0,而

h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾。

综合得，k的取值范围为（-，0]

考点：本试题主要考查了导数的几何意义的运用，以及寒素的最值的运用。

点评：解决该试题的关键是利用导数的几何意义得到参数a,b的值，得到解析式。

要证明不等式恒成立，要构造整体的函数，利用导数判定单调性得到参数k的范围。