Question

7个人按下列要求并排站成一排，分别有多少种不同的站法？

（1）甲不站在正中间，也不站在两端；

（2）甲、乙两人相邻；

（3）甲、乙之间相隔2人；

（4）甲站在乙的右边；

（5）甲、乙都与丙不相邻.

（6）若7个人站成两排，第一排3人，第二排4人，共有多少种站法？

（7）若7个人站成一个圆环，有多少种站法？

Answer 1

分析：（1）的限制条件甲不站在正中间与两端，意思是说甲只能站在余下的4个位置，因此可以先在这4个位置上排上甲而后再排其他人员，或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.

（2）由于甲、乙两人相邻，因此可把甲、乙两人合看作一个元素（捆绑法）参加全排列，但不要忘记甲、乙两人的局部排列问题.

（3）可以先从其余五人中选两人站在甲、乙之间，然后将此二人连同甲、乙四人看作一个元素（捆绑法）参加全排列，同样甲、乙之间也要进行全排列；还可以运用“数数法”将甲、乙站的位置确定出来，即甲、乙只能在1与4，2与5，3与6，4与7这四种位置上.

（4）甲不是站在乙的右边，就是站在乙的左边，两者必居其一，因此可以用“调序法”求解，或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲、乙排好，然后再排其余人员.

（5）本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究.

（6）把元素排成几排的问题，可化归为一排考虑，再在一排中分段处理.

（7）7人站成一个圆环，剪开排成一排，对应7个排列.故环状排列问题用剪断直排法处理.

（1）解法一：先让甲站在余下的四个位置中的任一位置上，有C种，再让余下的6人站在其他位置上，有A种不同站法，根据分步计数原理，共有N=C·A=2 880种不同站法.

解法二：甲不站正中间也不站在两端，可先从其余6人中任选3人站在这3个位置上（占位法），有A种站法，再让剩下的4人（含甲）站在其他4个位置上，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=A·A=2 880种不同站法.

解法三：先让甲以外的6人站成一排，有A种站法，再让甲插入这6个人之间的4个空档位置（不插在正中间），有A种方法.故共有N=A·A=2 880种不同的站法.

解法四：整体排异法.无限制条件的7人并排站成一排，有A种站法，去掉甲站在正中间及两端的情况，共有AA种，故共有N=A-AA=2 880种不同站法.

（2）解法一：捆绑法.先把甲、乙两人合在一起看作一个元素，参加全排列共有A种站法，然后甲、乙两人局部排列，共有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=A·A=1 440种不同站法.

解法二：插空法.先让甲、乙以外的5个人站队，有A种站法，再把甲、乙两人合在一起作为一个元素插入5个人形成的6个空档中，有A种站法，最后甲、乙两人局部排列，有A种站法，根据分步乘法计数原理，共有N=AAA=1 440种不同站法.

（3）解法一：捆绑法.先从甲、乙以外的5人中任选2人站在甲、乙之间，有A种站法，再将甲、乙及中间二人共4人看作一个整体参加全排列，有A种站法，最后甲、乙进行局部排列，有A种站法.根据分步乘法计数原理，知共有N=A·A·A=960种不同站法.

解法二：数数法与插空法相结合.先让甲、乙以外的5人站队，有A种站法，再在5人形成的6个空档中的1与4，2与5，3与6，4与7的位置上排上甲、乙，共有4A种站法，根据分步乘法计数原理，有N=A·4A=960种不同站法.

（4）解法一：组合法——顺序一定用组合.先在7个位置中选2个位置排上甲、乙（甲在乙的右边——顺序一定问题），有C种站法，再在余下的5个位置上站其余5人，有A种站法，根据分步乘法计数原理，知共有N=C·A=2 520种.

解法二：调序法.甲在乙的右边与甲在乙的左边的情况是一一对应的，因此，甲在乙的右边的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520种.

（5）解法一：直接法.分类求解.将问题分成甲与乙相邻但不与丙相邻及甲、乙、丙互不相邻两类研究.第一类情况可先让其余4人站队，有A种站法，他们之间形成5个空档，再把甲、乙两人看作一个整体与丙共两个元素插入5个空档，有A种站法，最后甲、乙两人进行局部排列，有A种站法，故这类情况有A·A·A种不同站法；第二类情况也可先让其余4人站队，有A种方法，再把甲、乙、丙3人插入5个空档，共有A种方法，因此这类情况有A·A种，根据分类加法计数原理，知共有N=A·A·A+A·A=2 400种不同站法.

解法二：间接法.整体排异，7个人排成一排，有A种方法.甲、乙都与丙相邻的站法，即丙站在甲、乙中间的站法共有A·A种；甲与丙相邻或乙与丙相邻的站法均为A·A种.但甲、丙相邻与乙、丙相邻的站法中都包括了丙站在甲、乙中间，故根据分类计数原理和整体排异策略知，共有N=A-2A·A+A·A=2 400种不同方法.

（6）A=5 040种不同站法.

（7）=720种不同的站法.

绿色通道:“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”或“相间”，是常见的有限制条件的排列问题.“在”一般用“直接法”求解，“不在”可用“间接法”；“相邻”问题一般用“捆绑法”，“不相邻”问题用“插空法”；“顺序一定”可用“调序法”或“组合法”.一般来说，解排列、组合应用题除了上述方法外，有时还用“占位法”或“数数法”，更多情况下需要对问题进行恰当的分类或分步.分类时要注意“类与类”之间的并列性和独立性、完整性；分步时要注意“步与步”之间的连续性和独立性、依赖性，做到不重不漏.