Question

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：见解析；｛a_n｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此时｛b_n｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；

当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,且λ的取值范围是

（－b-18,-3a-18）.

【解析】(I) 采用特值法证明.假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a²₂=a₁a₃,即矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

（II）因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

然后再判断b₁是否为零.

（III）由（II）知知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-,要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即转化为a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)恒成立问题.

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此时｛b_n｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)              

   ①

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；

当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）.