Question

9．已知函数f（x）=xe^x，g（x）=x²-x-a，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）+g（x）≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0恒成立等价于a≤xe^x+x²-x，令F（x）=xe^x+x²-x，通过求导得到函数F（x）的单调性，从而判断出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x+1），令f′（x）=0得x=-1，
当x＜-1时，f′（x）＜0；当x＞-1时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）的递减区间为（-∞，-1]，递增区间为（-1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+g（x）≥0恒成立等价于a≤xe^x+x²-x，
令F（x）=xe^x+x²-x，则F′（x）=xe^x+e^x+2x-1，
显然当x＞0时，F′（x）＞0；当x＜0时F′（x）＜0；当x=0时F′（x）=0，
所以F（x）在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
∴F（x）≥F（0）=0，∴a≤F（0）=0，
故a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．