Question

在□ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在BC与CD上运动（包括端点），则

AP

•

DM

的取值范围是

[-

1

2

，1]

．

Answer 1

分析：先设

AB

=

a

，

AD

=

b

，则|

a

|=2，|

b

| =1，

a

•

b

=1，然后讨论点P在BC上时与点P在CD上时

AP

•

DM

的取值范围，从而求出所求．

解答：解：设

AB

=

a

，

AD

=

b

，则|

a

|=2，|

b

| =1，

a

•

b

=1
当点P在BC上时，设

BP

=λ

b

，λ∈[0，1]

AP

•

DM

=（

a

+λ

b

）（

1

2

a

-

b

）=2-λ+

1

2

λ-1=1-

λ

2

∈[

1

2

，1]
当点P在CD上时，设

DP

=λ

a

，λ∈[0，1]

AP

•

DM

=（λ

a

+

b

）（

1

2

a

-

b

）=2λ-1+

1

2

-λ=λ-

1

2

∈[-

1

2

，

1

2

]
∴点P在BC与CD上运动（包括端点），则

AP

•

DM

的取值范围是[-

1

2

，1]
故答案为：[-

1

2

，1]

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题．