Question

已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．
（I）求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；
（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴
∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，
∵直线x+y=2的斜率为-1，∴f′（1）=-1
∴有，∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
由及x＞0，可得
令，∴
令h（x）=1-x-lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0
从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0
∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）_max=g（1）=1
要使成立，只需m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．